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Números Capicúa

La palabra capicúa viene del catalán “cap” y “cua”, que significan “cabeza” y “cola”, en términos matemáticos, números palíndromos que se refieren a cualquier número que se lee igual de izquierda a derecha que de derecha a izquierda. Ejemplos: 161, 2992, 3003, 2882,22. 1246421, 361163, 97279, 7997, 797, 77, 1397775777931, 267999762 y 41214.

Por ejemplo, 14941 es un palíndromo, mientras que 81924 no lo es.

Sucesión capicual

Es una sucesión finita, tal que el primero y el último, el segundo y el penúltimo término, y así sucesivamente son iguales. En otras palabras, se entiende que el término de un número capicúa debe su originen a la expresión que posee, además este número simétrico puede ser escrito en cualquier base de tal forma que se cumpla que: A1, A2, A3=A3, A2, A1.

Simetría

Se observa que los extremos 1 y 1 están a igual distancia del elemento central "6"; la diferencia entre ellos es cero. Los intermedios 4 y 4 asumen la misma propiedad que los anteriores. Y el 6 dista cero unidades lineales de sí mismo y su diferencia es cero. Esto es, pues, lo que se denomina la simetría capicual.

Ejemplo: (14641) 1, 4, 6, 4, 1.

Propiedades de los numeros capicua

·      - Si la suma de una progresión geométrica, con primer término 1 y razón x, se eleva a una potencia entera positiva los respectivos coeficientes se disponen en sucesión capicual.

·         - Todo capicúa con un número par de cifras es divisible por 11.

·         - Todo resultado de un numero con dígitos de valor 1 elevado al cuadrado es un numero capicúa.

·         - Todos los números tienen su capicúa.

Formas para obtener un número capicúa

a)       Se obtiene el capicúa de un número sumando el número con su reverso, hasta obtener su capicúa.

Ej. Calcular el capicúa del número 12, 102 y 57

12 + 21 = 33

102 + 201 = 303

57+75=132, 132+231=363

El capicúa del número 57 es 363.

Si se prueba con el 187, es seguro que tras 23 sumas llegamos a un número capicúa, en efecto este número es: 8.813.200.023.188

b)      Existe otra forma de obtener un número capicúa, esto se logra partiendo de los números triangulares como los siguientes: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, etc.

Por ejemplo, en la figura, se observa la construcción de los números triangulares hasta el cuarto número:

Normas para determinar los números capicúa

     Existen algunas normas para poder determinar si un número es capicúa o no, estas son:

         Que todos los números que tiene base 10 y que van acompañados de un dígito como el 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 o 9, es considerado como un número palindrómicos.

         En total son nueve números capicúas que tienen dos dígitos, pero si se incluyen los ceros en la parte izquierda serían diez los números de este tipo, siendo estos: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88 y 99.

         Se tiene 93 dígitos en total (aunque si se incluyen los ceros a la izquierda serían 100 dígitos) dentro de los mil primeros números, estos son: 101, 111, 121..., 181, 191, 202, 212, 292, 303, 313, 898, 909, 919, 929, 979, 989, 999.

        Dentro de los diez mil primeros números, son un total de 94 dígitos o 100, al incluir los ceros a la izquierda, estos números son: 1001, 1111, 1221, 1331, 1441, 1551, 1661, 1771, 1881, 1991,..., 9009, 9119, 9229, 9339, 9449, 9559, 9669, 9779, 9889, 9999.

          Mientras que son un total de 905 dígitos y 1000, si se incluyen los ceros a la izquierda, dentro de los primeros cien mil primeros números, siendo estos los siguientes números capicúas: 10001, 11011, 11111, 11211, 11311, 11411, 11511,..., 99999.